解:(1)∵左焦點(diǎn)為F1(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,0),
∴c
2=a
2-b
2=2,
∵橢圓過點(diǎn)M(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,1),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119382.png)
,
聯(lián)立
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119383.png)
,得a
2=4,b
2=2,
∴橢圓C方程:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10883.png)
.
(2)存在經(jīng)過定點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)并且滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119381.png)
.
設(shè)直線l為y=kx+2,
把y=kx+2代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10883.png)
,并整理,得(2k
2+1)x
2+8kx+4=0,
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119384.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119385.png)
,
y
1y
2=(kx
1+2)(kx
2+2)=k
2x
1x
2+2k(x
1+x
2)+4=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119386.png)
,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11599.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119387.png)
,
∴x
1x
2+y
1y
2=0,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119388.png)
,
解得k=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1161.png)
,
∴直線l為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119389.png)
.
分析:(1)由左焦點(diǎn)為F1(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,0),知c
2=a
2-b
2=2,由橢圓過點(diǎn)M(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,1),知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119382.png)
,聯(lián)立
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119383.png)
,能推導(dǎo)出橢圓C方程.
(2)設(shè)直線l為y=kx+2,把y=kx+2代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10883.png)
,并整理,得(2k
2+1)x
2+8kx+4=0,設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119384.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119385.png)
,y
1y
2=(kx
1+2)(kx
2+2)=k
2x
1x
2+2k(x
1+x
2)+4=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119386.png)
,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11599.png)
,知x
1x
2+y
1y
2=0,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119388.png)
,由此能求出直線l的方程.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓、向量、韋達(dá)定理的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.