Question

4．如圖所示的四面體ABCD中，AB⊥AD，CD⊥DB，BD=DC=5，AB=4．
（1）當(dāng)AC的長(zhǎng)為多少時(shí)，面ABD⊥面BCD；
（2）當(dāng)點(diǎn)D到面ABC的距離為3時(shí)，求該四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）按照逆向思維，假設(shè)面ABD⊥面BCD，得出CD⊥AD，繼而求解AC的值；
（2）由已知可得AD⊥面ABC，將待求體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化：V_A-BCD=V_D-ABC，利用已知條件求解即可．

解答 解：（1）若面ABD⊥面BCD，
∵面ABD∩面BCD=BD，又CD⊥BD，則CD⊥面ABD，∴CD⊥AD．
由已知可得AD=3，則$AC=\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{34}$．
∴當(dāng)AC的長(zhǎng)為$\sqrt{34}$時(shí)，面ABD⊥面BCD；
（2）∵點(diǎn)D到面ABC的距離為3，且AD=3，∴AD⊥平面ABC，則AD⊥AC，
∴$AC=\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}=4$，又CD⊥DB，BD=DC=5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，取BC中點(diǎn)E，連接AE，則AE=$\sqrt{A{C}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AE=\frac{5\sqrt{7}}{2}$．
∴${V}_{A-BCD}={V}_{D-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{7}}{2}×3=\frac{5\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．