Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)（2，1）到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C 的方程；（2）過(guò)橢圓C 的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且=3．求過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義得2a=4，從而求出a的值，然后將點(diǎn)（2，1）代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出b，從而求出橢圓的方程；
（2）分別設(shè)出A、B的坐標(biāo)，利用=3得到A、B坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后將A、B的坐標(biāo)代入橢圓的方程，通過(guò)解方程即可求得A、B的坐標(biāo)，最后設(shè)出所求圓的方程，將O、A、B的坐標(biāo)代入，解方程即可．
解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓C：（a＞b＞0），則2a=4，a=2．
∵點(diǎn)（2，1）在橢圓上，
∴，解得b=，
∴所求橢圓的方程為．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＜0，y₂＞0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（3，0），
由=3，得3-x₁=3（x₂-3），-y₁=3y₂，即x₁=-3x₂+12，y₁=-3y₂①．
又A、B在橢圓C上，
∴=1，，
解得x₂=，y₂=，
∴B（），代入①得A（2，-）．
設(shè)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則將O、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
F=0，6+2D-E+F=0，+D，
解得D=，E=，F(xiàn)=0，
故過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²-x-y=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、向量及圓的方程的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想、轉(zhuǎn)化思想、待定系數(shù)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧，難度中等．