Question

已知

a

=（sinωx，

3

sinωx），

b

=（sinωx，sin（

π

2

+ωx）），（ω＞0），f（x）=

a

•

b

-

1

2

且f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α）=

4

5

（

π

3

≤a≤

7

12

π），求sin2α值；
（Ⅲ）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

2

對稱，且方程g（x）-k=0在區(qū)間[-

3

2

π，-π]上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由題意利用兩個向量的數量積公式、三角恒等變換求得函數的解析式為 f（x）=sin（2ωx-

π

6

），再根據f（x）的周期為π，求得ω的值．
（Ⅱ）根據f（α）=sin（2α-

π

6

）=

4

5

（

π

3

≤a≤

7

12

π），求得cos（2α-

π

6

）的值，再根據 sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]利用兩角和的正弦公式計算求得結果．
（Ⅲ）由于區(qū)間[-

3

2

π，-π]關于直線x=-

π

2

的對稱區(qū)間是[0，

π

2

]，本題即求函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．根據x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數的定義域和值域，求得k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得 f（x）=

a

•

b

-

1

2

=sin²ωx+

3

sinωx•cosωx
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），且f（x）的周期為π=

2π

2ω

，求得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x-

π

6

），根據f（α）=sin（2α-

π

6

）=

4

5

（

π

3

≤α≤

7

12

π），
可得 2α-

π

6

∈[

π

2

，π]，∴cos（2α-

π

6

）=-

3

5

．
∴sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]=sin（2α-

π

6

）cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

+（-

3

5

）×

1

2

=

4 3 -3

10

．
（Ⅲ）由于函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

2

對稱，
區(qū)間[-

3

2

π，-π]關于直線x=-

π

2

的對稱區(qū)間是[0，

π

2

]，
故本題即求函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．
令t=2x-

π

6

，∵x∈[0，

π

2

]，可得t∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sint∈[-

1

2

，1]，
即k的范圍為[-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式、三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域、周期性，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．