Question

7．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），直線l：x=m（y+1）與直線y=-$\frac{3}{5}$交于點(diǎn)F，點(diǎn)E∈l，且?m∈R，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0．
（1）求點(diǎn)E的軌跡C的方程；
（2）設(shè)圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）與軌跡C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P是軌跡C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得F點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)E（x，y），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得點(diǎn)E的軌跡C的方程；
（2）由條件可知M、N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），則N（x₁，-y₁），直線PM的方程為y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），令y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．由此能證明|OR|•|OS|為常數(shù)．

解答 解：（1）由題意可知：A（0，1），F(xiàn)（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{3}{5}$），設(shè)E（x，y），
由$\overrightarrow{AE}$=（x，y-1），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{8}{5}$），
由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0．則$\frac{2}{5}$mx-$\frac{8}{5}$（y-1）=0，2mx=8（y-1），
當(dāng)y≠-1時(shí)，m=$\frac{x}{y+1}$，代入整理得：${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，（y≠-1），
當(dāng)y=-1時(shí)，F(xiàn)（0，-$\frac{3}{5}$），則E（0，1），滿足${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
∴點(diǎn)E的軌跡C的方程${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）證明：由條件可知M、N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
則N（x₁，-y₁），${y}_{1}^{2}-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}=1$，${y}_{0}^{2}-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}=1$，
所以x₁²=4（y₁²-1），x₀²=（y₀²-1）．
直線PM的方程為y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，
同理可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．
于是：|OR|•|OS|=|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$|•|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$|=|$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$|，
=|$\frac{4（{y}_{1}^{2}-1）{y}_{0}^{2}-4（{y}_{0}^{2}-1）{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$|=4．
所以|OR|•|OS|為常數(shù)4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的軌跡方程的求法，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線定義和方程的合理運(yùn)用，直線方程的合理運(yùn)用，屬于中檔題．