Question

15．在棱錐P-ABC中，側棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內一點，若點Q到三個側面的距離分別為2、2、2$\sqrt{2}$，則以線段PQ為直徑的球的表面積為16π．

Answer 1

分析 由已知中棱錐P-ABC中，側棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內一點，若點Q到三個側面的距離分別為2，2，2$\sqrt{2}$，由此知，PQ是以此三垂線段為長寬高的長方體的體對角線，由此求出PQ長，進而得到以線段PQ為直徑的球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案．

解答 解：∵棱錐P-ABC中，側棱PA、PB、PC兩兩垂直，
又∵底面△ABC內一點Q到三個側面的距離分別為2，2，2$\sqrt{2}$
∴PQ=$\sqrt{4+4+8}$=4
則線段PQ為直徑的球的半徑為2
∴以線段PQ為直徑的球的表面積S=4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評 本題考查的知識點是球的表面積，棱錐的結構特征，其中根據棱錐P-ABC中，側棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內一點，若點Q到三個側面的距離分別為2，2，2$\sqrt{2}$，求出PQ的長，是解答本題的關鍵．