分析 (1)取AO的中點O,連結(jié)OB,BD,OP,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD⊥OP,AD⊥OB,AD⊥DM,故AD⊥平面AOB,于是AD⊥PB,AD⊥MN,從而有AD⊥平面MND;
(2)根據(jù)VP-ABC=VC-PAB列方程求出C到平面PAB的距離.
解答 (1)證明:取AO的中點O,連結(jié)OB,BD,OP,
∵△PAD,△ABD,O是AD的中點,
∴PO⊥AD,OB⊥AD,
又OP∩OB=O,
AD⊥平面POB,∵PB?平面OPB,
∴AD⊥PB,
∵M,N分別是BC,PC的中點,
∴MN∥PB,
∴AD⊥MN,
又△BCD是等邊三角形,M是BC的中點,
∴DM⊥BC,又BC∥AD,
∴AD⊥DM,又DM∩MN=M,
∴AD⊥平面MND.
(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OP⊥AD,
∴PO⊥平面ABCD,
∵△PAD,△ABD是邊長為4的等邊三角形,
∴OP=OB=2$\sqrt{3}$,PB=2$\sqrt{6}$,PA=AB=4,
∴cos∠PAB=$\frac{16+16-24}{2×4×4}$=$\frac{1}{4}$,∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$.
∴S△PAB=$\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$=2$\sqrt{15}$,
又S△ABC=$\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$,VP-ABC=VC-PAB,
設(shè)C到平面PAB的距離為h,
則$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{15}×h$,解得h=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$.
點評 本題考查了線面垂直的判定,棱錐的體積計算,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | -1 | C. | i | D. | -i |
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A. | 充要 | B. | 充分不必要 | ||
C. | 必要不充分 | D. | 既不充分又不必要 |
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