Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成一正方形.（12分）
（1）求橢圓的方程；
（2）直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求
（為原點(diǎn)）面積的最大值.

Answer 1

（1）；(2) 面積的最大值為.

試題分析：（1）兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成一正方形,可知，又在橢圓上，可得的值；（2）可得直線(xiàn)直線(xiàn)有斜率，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí),則的垂直平分線(xiàn)為軸，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，方程有兩個(gè)不同的解又，
由弦長(zhǎng)公式求出，又原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，那么，可得時(shí)，取得最大值.
試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成正方形，
∴，∴，             2分
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，
∴故所求橢圓方程為                 4分
(2)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054719463390.png" style="vertical-align:middle;" />的垂直平分線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，顯然直線(xiàn)有斜率，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí),則的垂直平分線(xiàn)為軸，此時(shí)
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054720368690.png" style="vertical-align:middle;" />，所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為，     6分
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為
所以，代入得到         
當(dāng),   即                          
方程有兩個(gè)不同的解又，         
所以，又，化簡(jiǎn)得到    -----8分
代入，得到               
又原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

所以
考慮到且化簡(jiǎn)得到              10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054720789485.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.
綜上，面積的最大值為            12分