Question

已知等差數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)為8，前10項(xiàng)之和為185，從{a_n}中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，┅，第2ⁿ項(xiàng)，┅，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新的數(shù)列{b_n}．
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n；
（2）設(shè)T_n=n（9+a_n），試比較S_n和T_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

a1+d=8 10a1+ 10×9d 2 =185

，解方程可求d，a₁，進(jìn)而可求通項(xiàng)a_n=n+2，代入可得bn=a2n=3•2ⁿ+2，利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求S_n
（2）T_n=n（9+a_n）由=n（3n+11）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=8T₁=14，S₁＜T₁，n=2，S₂=22＜T₂=34，當(dāng)n=3，S₃=48＜T₃=60，當(dāng)n=4，S₄=98＞T₄=92，當(dāng)n=5，S₅=196＞T₅=130，故猜想當(dāng)1≤n≤3，S_n＜T_n；當(dāng)n≥4，S_n＞T_n，用歸納法證明n≥4時(shí)，S_n＞T_n

解答：解：（1）由a₂=8，S₁₀=185可得

a1+d=8 10a1+ 10×9d 2 =185

∴d=3，a₁=5∴a_n=3n+2
∵bn=a2n=3•2ⁿ+2
∴S_n=3（2¹+2²+…+2ⁿ）+2+2+…+2=

6(1-2n)

1-2

+2n=3•2ⁿ⁺¹+2n-6
（2）∵T_n=n（9+a_n）=n（3n+11）
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=8T₁=14，S₁＜T₁
當(dāng)n=2，S₂=22＜T₂=34
當(dāng)n=3，S₃=48＜T₃=60
當(dāng)n=4，S₄=98＞T₄=92
當(dāng)n=5，S₅=196＞T₅=130
隨著n的增大，S_n，T_n都增加，但是S_n比T_n增加的速度快
故猜想當(dāng)1≤n≤3，S_n＜T_n
當(dāng)n≥4，S_n＞T_n
下面用歸納法證明n≥4時(shí)，S_n＞T_n
①當(dāng)n=4時(shí)由上述可知命題成立
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時(shí)S_k＞T_k，即6•2^k+2k-6＞3k²+11k
∴3.2^1+k＞k²+3k+2）×3
6•2^k+1＞6k²+18k+12=3（k+1）²+11（k+1）+（3k²+3k-6）＞3（k+1）²+11（k+1）
當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，當(dāng)n≥4時(shí)，都有S_n＞T_n
綜上可得，當(dāng)n≥4時(shí)，S_n＞T_n，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，S_n＜T_n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，及數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用，解題（2）的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確的歸納猜想．