Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn) M，N．
（1）求橢圓C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△AMN的面積為$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，點(diǎn)A到直線MN的距離d．利用△AMN的面積=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$=$\frac{1}{2}d$|MN|，解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：a=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：$（±\sqrt{2}，0）$．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{16{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（2{k}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$．
點(diǎn)A到直線MN的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴△AMN的面積=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$=$\frac{1}{2}d$|MN|=$\frac{\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
化為：20k⁴-7k²-13=0，
解得k²=1，解得k=±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．