Question

如圖，三角形中，，是邊長為的正方形，平面 ⊥底面，若、分別是、的中點．

（1）求證：∥底面；

（2）求證：⊥平面；

（3）求幾何體的體積．

 

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：本題主要考查線面垂直、線線垂直、面面垂直、線線平行、線面平行、幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力．第一問，作出輔助線，在中，HG為中位線，則，在中，HF為中位線，則，，所以，利用線面平行的判定得平面，平面，再利用面面平行的判定得平面//平面，利用面面平行的性質(zhì)得//平面；第二問，由，得為直角三角形，，而平面，則由線面垂直的性質(zhì)得，由線面垂直的判定得平面；第三問，取AB中點，由于為等腰直角三角形，所以，而，所以⊥平面，所以CN是錐體的高，利用錐體的體積公式計算體積即可．

（1）取的中點，連結(jié)，

因為分別是和的中點，所以，，

又因為為正方形， 所以，從而，

所以平面，平面，，

所以平面//平面，所以//平面． 4分

（2）因為為正方形，所以，所以平面，

又因為平面⊥平面，所以平面，

所以，又因為，

所以，因為,

所以平面． 8分

（3）連結(jié)，因為，所以，

又平面⊥平面，平面，所以⊥平面。

因為三角形是等腰直角三角形，所以，

因為是四棱錐，所以=． 12分

考點：線面垂直、線線垂直、面面垂直、線線平行、線面平行、幾何體的體積．