Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)任意，恒成立，可變形為，因此只要求得的最大值即可，這可由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解；

（2）首先利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，確定零點(diǎn)分布，不妨設(shè)，得，然后用分析法轉(zhuǎn)化所要證不等式為，由，這時(shí)以退為進(jìn)，證明，即證，現(xiàn)在可構(gòu)造函數(shù)，.證明，這又可用導(dǎo)數(shù)證明．

（1）解：由對(duì)任意恒成立，得對(duì)任意恒成立.

令，則.

令，則.

在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.

故，

則，即的取值范圍為.

（2）證明：設(shè)，，則.

在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.

∵，，當(dāng)時(shí)，，且，

∴，.

要證，即證.

∵，，在上單調(diào)遞減，

∴只需證明.

由，只需證明.

令，.

，

∵，∴，，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

即，∴.