Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a=c＞0，f（1）=1，對(duì)任意x∈|[-2，2]，f（x）的最大值與最小值之和為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）若a，b，c為正整數(shù)，函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 （1）配方，分類討論，求g（a）的表達(dá)式；
（2）若a，b，c為正整數(shù)，函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，確定a，b，c的范圍，即可求a+b+c的最小值．

解答 解：（1）a=c＞0，f（1）=1，則a+b+a=1，b=1-2a，
∴f（x））=ax²+（1-2a）x+a=a$（x+\frac{1-2a}{2a}）^{2}$+$\frac{4a-1}{4a}$，
當(dāng)1-$\frac{1}{2a}$≤-2，即0＜a≤$\frac{1}{6}$時(shí)，g（a）=f（-2）+f（2）=10a；
當(dāng)-2＜1-$\frac{1}{2a}$≤0，即$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，g（a）=f（1-$\frac{1}{2a}$）+f（2）=a-$\frac{1}{4a}$+3，
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，g（a）=f（1-$\frac{1}{2a}$）+f（-2）=9a-$\frac{1}{4a}$-1，
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{10a，0＜a≤\frac{1}{6}}\\{a-\frac{1}{4a}+3，\frac{1}{6}＜a≤\frac{1}{2}}\\{9a-\frac{1}{4a}-1，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$＜0，$\frac{1}{16}$＞x₁x₂=$\frac{c}{a}$＞0
∴a＞16c，
由根的分布可知f（-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{16}$a-$\frac{1}{4}$b+c＞0，即a+16c＞4b，
∵a，b，c為正整數(shù)，∴a+16c≥4b+1
f（0）=c＞0，△＞0，b$＞2\sqrt{ac}$，
∴a+16c＞8$\sqrt{ac}$+1，可得（$\sqrt{a}-4\sqrt{c}$）²＞1，
∵a＞16c，∴$\sqrt{a}-4\sqrt{c}$＞1，
∴$\sqrt{a}$$＞4\sqrt{c}+1≥4+1$，∴a＞25，
∴a≥26，
∴b$＞2\sqrt{ac}$≥$\sqrt{26}$，∴b≥11，c≥1．
f（x）=26x²+11x+1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故a+b+c的最小值為38．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查基本不等式的運(yùn)用，難度大．