Question

4．已知方程4x²-2（k+1）x+k=0的兩根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，若直角三角形面積為4$\sqrt{3}$，求k的值和直角三角形斜邊的長．

Answer 1

分析 根據(jù)兩個直角三角形的兩個銳角，再表示出兩個方程的根，得到銳角α，β的余弦值，進而得到k的值，設(shè)直角三角形的兩個銳角α、β所對的邊為a，b，斜邊為c，進而可求b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，代入三角形面積公式即可計算得解斜邊的長．

解答 解：設(shè)直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α+β=$\frac{π}{2}$，
∴cosα=sinβ，
∵方程4x²-2（k+1）x+k=0，即（2x-1）（2x-k）=0的兩根為x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{k}{2}$，
∴cosα=$\frac{1}{2}$，
∴α=60°且β=30°，
∴cosβ=cos30°=$\frac{k}{2}$，
∴k=$\sqrt{3}$，
設(shè)直角三角形的兩個銳角α、β所對的邊為a，b，斜邊為c，
∴由cosα=$\frac{1}{2}$=$\frac{c}$，可得：b=$\frac{1}{2}$c，由cosβ=cos30°=$\frac{a}{c}$，可得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∵直角三角形面積為4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×$$\frac{c}{2}$×$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
∴解得：c=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系即同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是利用兩個銳角互余的關(guān)系來解題，本題是一個中檔題目．