Question

5．已知a，b∈R，在（ax+$\frac{2b}{x}$）⁸的展開(kāi)式中，第二項(xiàng)系數(shù)為正，各項(xiàng)系數(shù)和為256，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的取值范圍是（0，70]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得a+2b=2，a＞0，b＞0，再根據(jù)基本不等式求出0＜ab≤$\frac{1}{2}$，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，即可得取值范圍

解答 解：（ax+$\frac{2b}{x}$）⁸的展開(kāi)式中，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)之和為（a+2b）⁸=256=2⁸，a+2b=2，
又C₈¹a⁷•2b＞0，
∴ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
∴2=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
即0＜ab≤$\frac{1}{2}$，
∵（ax+$\frac{2b}{x}$）⁸的展開(kāi)式中的通項(xiàng)為C₈^ra^8-r•（2b）^rx^8-2r，
令8-2r=0，解得r=4，
則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C₈⁴a⁴•（2b）⁴=70（2ab）⁴≤70，
故該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的取值范圍是（0，70]，
故答案為：（0，70]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．