Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由數列遞推式結合首項求出前5項，分析得到數列{a_n}的前兩項等于項數，從第三項起，項的分子與分子，分母與分母的差構成等差數列，利用累加法分別求出分子和分母的通項，作比后得答案．

解答： 解：由a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，得
a2=

1

a1

+1=2，
a3=

1

a2

+1=

1

2

+1=

3

2

，
a4=

1

a3

+1=

2

3

+1=

5

3

，
a5=

1

a4

+1=

3

5

+1=

8

5

，
∴數列{a_n}的前兩項等于項數，從第三項起，
項的分子與分子，分母與分母的差構成等差數列，
由累加法求得an=

n2-3n+6

n2-5n+10

(n≥3)．
∴a_n=

n(n=1，2) n2-3n+6 n2-5n+10 (n≥3)

．
故答案為：

n(n=1，2) n2-3n+6 n2-5n+10 (n≥3)

．

點評：本題考查了數列遞推式，訓練了累加法求數列的通項公式，關鍵是對規(guī)律的發(fā)現，是中檔題．