Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓上一點到右焦點的最大距離與最小距離之差為$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點A（4，-2），過原點且斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于兩點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），求△APQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓上一點到右焦點的最大距離與最小距離之差為$4\sqrt{3}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）過原點且斜率為k（k＞0）的直線l的方程為y=kx，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式、均值定理能求出△APQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
且橢圓上一點到右焦點的最大距離與最小距離之差為$4\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{16-12}$=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）∵過原點且斜率為k（k＞0）的直線l的方程為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16=0，
∴x²=$\frac{16}{1+4{k}^{2}}$，
∵P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}×2×\sqrt{\frac{16}{1+4{k}^{2}}}$，
又∵點A（4，-2）到直線l：y=kx的距離d=$\frac{2|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△APQ的面積S_△APQ=$\frac{1}{2}|PQ|•d$=8×$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=8×$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4k+1}{1+4{k}^{2}}}$
=8×$\sqrt{1+\frac{4k}{1+4{k}^{2}}}$=8×$\sqrt{1+\frac{4}{\frac{1}{k}+4k}}$，
當k＞0時，4k+$\frac{1}{k}$≥4（當且僅當k=$\frac{1}{2}$時取“=”），
∴當k=$\frac{1}{2}$時，△APQ面積取最大值8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式、均值定理的合理運用．