Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

4

]時，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的 解析式為2sin（2x+

π

6

 ）+2，求出周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解出x的范圍，即得單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，求出2x+

π

6

 的范圍，進而求得sin（2x+

π

6

 ） 的范圍，從而得到函數(shù)y=f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

 ）+2．
∴最小正周期T=

2π

2

=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為 （kπ-

π

3

，kπ+

π

6

 ），k∈z．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

4

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1；
∴1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，∴3≤2sin(2x+

π

6

)+2≤4，
∴函數(shù)y=f（x）的值域為[3，4]．

點評：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡單的三角變換，要求學生能正確運用三角函數(shù)的概念和公式對已知的三角函數(shù)進行化簡求值．