Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，PA=AB，E為PO的中點．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求異面直線AE與PB所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，先證明線線平行，進而證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=2，利用向量的夾角求異面直線AE與PB所成角．

解答： （1）證明：連接BD交AC于點O，連接EO，
∵ABCD是正方形
∴點O是BD的中點
又∵點E是PD的中點
∴EO是△DPB的中位線．
∴PB∥EO．
又∵EO?平面ACE，PB?平面EAC
∴PB∥平面EAC；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=2，如圖，

則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），E（0，1，1），
所以

AE

=（0，1，1），

PB

=（-2，0，2），
所以AE=

2

，PB=2

2

，
所以cos＜

AE

，

PB

＞=

AE • PB

2 ×2 2

=

2

4

=

1

2

，
所以異面直線AE與PB所成角的大小為60°．

點評：本題考查線面平行的證明和異面直線所成的角的求法．熟練應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理和利用向量法是關(guān)鍵．屬于經(jīng)常考查題型．