Question

15．已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓上的左頂點(diǎn)，且直線(xiàn)PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN），則k_PM•k_PN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．類(lèi)比上述性質(zhì)，可以得到雙曲線(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)，并根據(jù)這個(gè)性質(zhì)得：若M，N是雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN），雙曲線(xiàn)的離心率e=$\sqrt{5}$，則k_PM•k_PN等于-4．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，0），表示出直線(xiàn)PM和PN的斜率，求得兩直線(xiàn)斜率乘積的表達(dá)式即可

解答 解：M，N是雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，
P是雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN）
設(shè)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，
即n²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$，又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，0），
由k_PM=$\frac{n}{m+a}$，k_PN=$\frac{n}{a-m}$，
∴k_PM•k_PN⁼$\frac{{n}^{2}}{{a}^{2}-{m}^{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$×$\frac{1}{{a}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-（e²-1）（常數(shù)）．
∴雙曲線(xiàn)的離心率e=$\sqrt{5}$時(shí)，則k_PM•k_PN等于-4．
故答案為：-4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)算是關(guān)鍵．屬于中檔題．