Question

已知向量，，且，f（x）=•-2λ||（λ為常數），
求：（1）•及||；
（2）若f（x）的最小值是，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所給的向量的坐標，寫出兩個向量的數量積，寫出數量積的表示式，利用三角函數變換，把數量積整理成最簡形式，再求兩個向量和的模長，根據角的范圍，寫出兩個向量的模長．
（2）根據第一問做出的結果，寫出函數的表達式，式子中帶有字母系數λ，把式子整理成關于cosx的二次函數形式，結合λ的取值范圍，寫出函數式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合題意的舍去．
解答：解：（1），，
∵，
∴cosx≥0，
∴．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵，
∴0≤cosx≤1，
①當λ＜0時，當且僅當cosx=0時，f（x）取得最小值-1，這與已知矛盾；
②當0≤λ≤1，當且僅當cosx=λ時，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得，解得；
③當λ＞1時，當且僅當cosx=1時，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得，解得，這與λ＞1相矛盾、
綜上所述，為所求．
點評：本題考查向量的數量積和模長，考查三角函數變換，考查二次函數的最值，考查分類討論思想，是一個綜合題，題目涉及的內容比較多，易錯點是帶有字母系數的二次函數最值問題．