Question

12．若分別為P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四個點各作一條直線，所得四條直線恰圍成正方形，則該正方形的面積不可能為（　�。�

• A． $\frac{16}{17}$
• B． $\frac{36}{5}$
• C． $\frac{64}{37}$
• D． $\frac{196}{53}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，由圖形和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出正方形面積．

解答 解：如果過點P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四條直線構(gòu)成一個正方形，
過P點的必須和過Q，R，S的其中一條直線平行和另外兩條垂直，
假設(shè)過P點和Q點的直線相互平行時，如圖，
設(shè)直線PC與x軸正方向的夾角為θ，再過Q作它的平行線QD，過R、S作它們的垂線RB、SC，過點A作x軸的平行線分別角PC、SC于點M、N，
則AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，
因為AB=AD，所以sinθ=4cosθ，則tanθ=4，
所以正方形ABCD的面積S=AB•AD=4sinθcosθ=$\frac{4sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4tanθ}{tan2θ+1}$=$\frac{16}{17}$，
同理可求，當直線PC和過R的直線平行時正方形ABCD的面積S為 $\frac{36}{5}$，
當直線PC和過S點的直線平行時正方形ABCD的面積S為 $\frac{193}{53}$，
故選：C．

點評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．