Question

20．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，若△AOB的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．且直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，3$\sqrt{2}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)S（-$\frac{1}{3}$，0）的動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，列方程組解出a，b；
（2）先求出l平行x軸和垂直x軸的特殊情況，找到兩圓的公共點(diǎn)，再證明此公共點(diǎn)在動(dòng)圓上即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0）．
∴橢圓的上頂點(diǎn)為B（0，a），右頂點(diǎn)為A（b，0），直線AB的方程為$\frac{x}+\frac{y}{a}$=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ab=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{-2}+\frac{3\sqrt{2}}{a}=1}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
橢圓C的方程是$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
（2）若直線與x軸重合，則MN=2b=2，圓的方程為x²+y²=1，
若直線垂直于x軸，則MN=$\frac{8}{3}$，圓的方程為（x+$\frac{1}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$．
顯然A（1，0）為兩圓的公共點(diǎn)，
因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是A（1，0）．
事實(shí)上，點(diǎn)（1，0）就是所求的點(diǎn)．證明如下：
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+$\frac{1}{3}$）．
由聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\\{y=k（x+\frac{1}{3}）}\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+$\frac{2{k}^{2}}{3}$x+$\frac{{k}^{2}}{9}$-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{2{k}^{2}}{3（{k}^{2}+2）}$，x₁x₂=$\frac{\frac{{k}^{2}}{9}-2}{{k}^{2}+2}$．
又y₁y₂=k²（x₁+$\frac{1}{3}$）（x₂+$\frac{1}{3}$）=k²x₁x₂+$\frac{{k}^{2}}{3}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{9}$．
∵$\overrightarrow{AM}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{AN}$=（x₂-1，y₂），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²x₁x₂+$\frac{{k}^{2}}{3}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{9}$
=（1+k²）x₁x₂+（$\frac{{k}^{2}}{3}-1$）（x₁+x₂）+1+$\frac{{k}^{2}}{9}$
═（1+k²）•$\frac{{k}^{2}-18}{9（{k}^{2}+2）}$-$\frac{{k}^{2}-3}{3}$•$\frac{2{k}^{2}}{3（{k}^{2}+2）}$+$\frac{{k}^{2}+9}{9}$
=0，
∴AM⊥AN，即以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）．
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（1，0），使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．