Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）若,求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）二面角的余弦值為．

解析試題分析：（1）首先可得為正三角形．
根據(jù)為的中點(diǎn)，得到．進(jìn)一步有．
由平面，證得．
平面．即得．                                            
（2）思路一：利用幾何方法.遵循“一作，二證，三計(jì)算”，過(guò)作于，有平面，
過(guò)作于，連接，

即得為二面角的平面角，

在中，.
思路二：利用“向量法”：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
確定平面的一法向量及為平面的一法向量．
計(jì)算．
試題解析：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/00/c7/00ec78cc7c5ca95d140f4a5d92fd938e.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以．
又，因此．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f3/6b/f346b787a64ae2f38c9ab744fe75c432.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．                      （7分）
（2）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f3/6b/f346b787a64ae2f38c9ab744fe75c432.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面平面．
過(guò)作于，則平面，
過(guò)作于，連接，
則為二面角的平面角，

在中，，，
又是的中點(diǎn)，在中，，
又， 在中，，
即所求二面角的余弦值為．                （14分）
解法二：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

，
，
所以．
設(shè)平面的一法向量為，
則因此
取，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d3/10/d3f104b2da47d9745b68ef14fd1d346a.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以平面，
故為平面的一法向量．
又，
所以．
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/13/a7/134a7914f600fc7804ba835e3b0baac2.png" style="vertical-align:middle;" />為銳角，
所以所求二面角的余弦值為．
考點(diǎn)：1.垂直關(guān)系；2.空間的角；3.空間向量方法.