Question

18．已知函數f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）用定義判斷函數f（x）的單調性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用函數奇偶性求解即可，對于奇偶性的判斷，只須考慮f（-x）與f（x）的關系即得；
（2）單調性的定義對于單調性的證明，先在定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比較f（x₁）-f（x₂）即可；
（3）先依據函數y=f（x）在R上單調性化掉符號：“f”，將問題轉化為關于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范圍

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），∴函數f（x）為奇函數，
（2）證明：f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
在定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，從而f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數f（x）在R上為單調增函數．
（3）由（2）得函數f（x）為奇函數，在R上為單調增函數，
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）

點評 本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法、函數的值域等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．