在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(1)求證:BD⊥EG;
(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.
(1)解法1
證明:∵平面
,
平面
,
∴,
又,
平面
,
∴平面
2分
過作
交
于
,則
平面
.
∵平面
,
∴ 4分
∵,∴四邊形
平行四邊形,
∴,
∴,又
,
∴四邊形為正方形,
∴ 6分
又平面
,
平面
,
∴⊥平面
7分
∵平面
,
∴ 8分
(2)∵平面
,
平面
∴平面⊥平面
由(1)可知
∴⊥平面
∵平面
∴ 9分
取的中點
,連結(jié)
,
∵四邊形是正方形,
∴
∵平面
,
平面
∴⊥平面
∴⊥
∴是二面角
的平面角 12分
由計算得
∴ 13分
∴平面與平面
所成銳二面角的余弦值為
14分
解法2
∵平面
,
平面
,
平面
,
∴,
,
又,
∴兩兩垂直 2分
以點E為坐標原點,分別為
軸
建立如圖所示的空間直角坐標系.
由已知得,(0,0,2),
(2,0,0),
(2,4,0),
(0,3,0),
(0,2,2),
(2,2,0) 4分
∴,
6分
∴ 7分
∴ 8分
(2)由已知得是平面
的法向量 9分
設(shè)平面的法向量為
,
∵,
∴,即
,令
,得
12分
設(shè)平面與平面
所成銳二面角的大小為
,
則 13分
∴平面與平面
所成銳二面角的余弦值為
14分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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