Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，${S_n}=\frac{{3{a_n}-3}}{2}$（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n•b_n=log₃a_4n+1，記T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：${T_n}＜\frac{7}{2}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，及其等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）求出b_n=$\frac{4n+1}{{a}_{n}}$=（4n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）解：由${S_n}=\frac{{3{a_n}-3}}{2}$（n∈N₊）．
當n=1時，a₁=S₁，2S₁+3=3a₁，得a₁=3．
n=2時，2S₂+3=3a₂，即有2（a₁+a₂）+3=3a₂，解得a₂=9．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∵2S_n+3=3a_n（n∈N^*），2S_n-1+3=3a_n-1，
兩式相減可得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=3ⁿ．對n=1也成立．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3ⁿ．
（2）證明：由a_n•b_n=log₃a_4n+1=log₃3⁴ⁿ⁺¹=4n+1，
得b_n=$\frac{4n+1}{{a}_{n}}$=（4n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=5•$\frac{1}{3}$+9•（$\frac{1}{3}$）²+…+（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=5•（$\frac{1}{3}$）²+9•（$\frac{1}{3}$）³+…+（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{5}{3}$+4×[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{5}{3}$+4×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}$（4n+7）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ＜$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了利用遞推關(guān)系求通項公式的技巧，同時也考查了用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．重點突出運算、論證、化歸能力的考查，屬于中檔難度．