Question

11．如果直線l₁：2x-y+2=0，l₂：8x-y-4=0與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的四邊形封閉區(qū)域（含邊界）中的點(diǎn)，使函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，則a+b的最小值為4 ．

Answer 1

分析 寫出約束條件，畫出可行域，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為B（1，4），代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4，再利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x，y）為封閉區(qū)域中的任意點(diǎn)
則P（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$…（3分）
可行域如圖所示…（6分）
目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為B（1，4）…（8分）
依題意將B（1，4）代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4…（10分）
有基本不等式得：a+b≥2$\sqrt{ab}$=4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立）
故a+b的最小值為4．
故答案為：4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，利用基本不等式求最值．