已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于表中：

（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率不為0的動直線與有且只有一個公共點，且與的準(zhǔn)線交于，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1） ，；（2）存在定點.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，由點的坐標(biāo)代入求出基本量即得；（2）巧設(shè)直線的方程為，由直線與橢圓相切，求得，利用直線與的準(zhǔn)線相交求點的坐標(biāo)，寫出以為直徑的圓的方程，利用恒成立求解.

試題解析：（1）設(shè)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，∵和代入拋物線方程中得到的解相同，∴，      （3分）

又和在橢圓上，把點的坐標(biāo)代入橢圓方程得，，則，

的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，.        （6分）

（2）設(shè)直線的方程為，將其代入消去并化簡整理得：

，又直線與橢圓相切，

∴，∴，     （8分）

設(shè)切點，則，，

又直線與的準(zhǔn)線的交點，

∴以為直徑的圓的方程為，      （10分）

化簡整理得恒成立，

故，，即存在定點符合題意.       （13分）

考點： 橢圓、拋物線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直線與圓橢圓的關(guān)系，定點問題.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

3

2

4

0

4

⑴求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為坐標(biāo)原點，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于表中：

 

 

 

 

 

 

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）請問是否存在直線同時滿足條件：(ⅰ)過的焦點；(ⅱ)與交于不同兩點、，且滿足.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河南省南陽市高三春期第十一次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

  已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

3

4

0

（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交于不同兩點，，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年吉林省長春市高三第一次調(diào)研測試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

 

3

2

4

0

4

[

 

⑴求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

 

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