Question

(本小題12分) 正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，點(diǎn)A_n（）在雙曲線y²-x²=1上，點(diǎn)（）在直線y=-x+1上，其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

①求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；

②設(shè)C_n=a_nb_n，證明 C_n+1＜C_n

③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整數(shù)m的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) a_n=n+1, (2)利用單調(diào)性法加以證明。

(3) m的最小值為10

【解析】

試題分析：① 由已知點(diǎn)A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，

∴數(shù)列{a_n}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列。

∴a_n=n+1

∵點(diǎn)（）在直線y=-x+1上

∴T_n=-b_n+1            ①

∴T_n-1=-b_n-1+1         ②

①②兩式相減得b_n=-b_n+b_n-1

∴

令n=1得 

∴，。

∴

②

∴

=

=

=＜0，

∴＜

③ ∵ 而m＞7恒成立    ∴m＞7c₁=   而 

∴m的最小值為10。

考點(diǎn)：本試題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于數(shù)列圖像的求解，該試題以函數(shù)為背景建立了遞推關(guān)系式，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，同時(shí)能借助于通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，整體的思想求解通項(xiàng)公式，這是重要的一點(diǎn)。而對(duì)于錯(cuò)位相減法求和需要熟練掌握，找到容易出錯(cuò)的細(xì)節(jié)就是最后一步的合并，要細(xì)心點(diǎn)，屬于中檔題。