Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是周期為3的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，

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2

]時(shí)，f（x）=sin（πx），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)x∈[0，

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]時(shí)，f（x）=sin（πx），求出f（x）的零點(diǎn)是1和0，
再由f（x）是偶函數(shù)，求出f（x）在[-

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，

3

2

]上的零點(diǎn)，
根據(jù)f（x）是周期為3的函數(shù)，求出f（x）在區(qū)間[0，5]上的零點(diǎn)．

解答： 解：∵當(dāng)x∈[0，

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]時(shí)，f（x）=sin（πx），
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1或x=0；
又∵函數(shù)f（x）是定義域R上的偶函數(shù)，
∴在區(qū)間∈[-

3

2

，

3

2

]上，
∴f（-1）=f（1）=f（0）=0，
∴x=-1也是函數(shù)的零點(diǎn)；
又∵函數(shù)f（x）是周期為3的函數(shù)，
∴f（2）=f（-1+3）=0，
f（3）=f（0+3）=f（0）=0，
f（4）=f（1+3）=0，
f（5）=f（-1+2×3）=0；
∴方程f（x）=0在區(qū)間[0，5]上的解有0，1，2，3，4，5共6個(gè)；
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的零點(diǎn)有6個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的周期性與奇偶性的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題，是中檔題目．