Question

已知a為實數，函數f（θ）=sinθ+a+3，g（θ）=（θ∈R）．
（1）若f（θ）=cosθ，試求a的取值范圍；
（2）若a＞1，求函數f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令f（θ）=cosθ，得到關于a與θ的關系式sinθ-cosθ=-3-a，再由三角函數的輔角公式化簡后可得答案．
（2）先表示出f（θ）+g（θ）的關系式，然后令sinθ+1=x將有關三角函數轉化為一般函數的問題，再由基本不等式和函數的單調性解題．
解答：解：（1）∵f（θ）=cosθ，∴sinθ-cosθ=-3-a，
又sinθ-cosθ=sin（），
∴≤3+a，即a的取值范圍是[-3，-3]
（2）f（θ）+g（θ）=（sinθ+1）++a+2，令sinθ+1=x，則0＜x≤2，
∵a＞1
∴x+≥，當且僅當x=時，等號成立
由≤2解得a≤，
∴當1＜a≤時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是2；
下面求當a時，函數f（θ）+g（θ）的最小值．
當a＞時，，函數h（x）=x+
在（0，2]上為減函數．所以函數f（θ）+g（θ）的最小值為．
當a＞時，函數h（x）=x+
在（0，2]上為減函數的證明：任取0＜x₁＜x₂≤2，
h（x₂）-h（x₁）=（x₂-x₁）[1-]，
因為0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以1-＜0，h（x₂）-h（x₁）＜0，
由單調性的定義函數h（x）=x+在（0，2]上為減函數．
于是，當1＜a時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是2；
當a＞時，函數f（θ）+g（θ）的最小值．
點評：本題主要考查三角函數的輔角公式和基本不等式的應用以及函數單調性的應用．運用基本不等式時注意等號成立的條件以及運用函數單調性的時候要有適當的證明方有說服力．