Question

2．如圖，已知拋物線C：y²=4x，為其準線，過其對稱軸上一點P（2，0）作直線l′與拋物線交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，連結OA、OB并延長AO、BO分別交l于點M、N．
（1）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值；
（2）記點Q是點P關于原點的對稱點，設P分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為λ，
且$\overrightarrow{PQ}$⊥（$\overrightarrow{QA}$+μ$\overrightarrow{QB}$），求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）設l：x=my+2，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-8=0，利用三點共線，求出y₃=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，y₄=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，再利用向量的數量積公式，即可求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值；
（2）利用向量垂直，得出4[（x₁+2）+μ（x₂+2）]=0，再分類討論，即可得出結論．

解答 解：（1）設l：x=my+2，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-8=0．
設M（-1，y₃），N（-1，y₄），則y₁y₂=-8，x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{4×4}$=4．
∵A，O，M 三點共線，
∴$\frac{{y}_{3}}{-1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴y₃=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
同理可得y₄=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=（-1，y₃）•（-1，y₄）=1+y₃y₄=1+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1；
（2）∵$\overrightarrow{QP}$=（4，0），$\overrightarrow{PQ}$⊥（$\overrightarrow{QA}$+μ$\overrightarrow{QB}$），
∴4[（x₁+2）+μ（x₂+2）]=0
①AB⊥x軸時，λ=1，x₁=x₂=2，∴μ=-1，∴λ+μ=0；
②AB不垂直于x軸時，∵P分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為λ，
∴$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$=2，∴λ=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}-2}$．
∵μ=-$\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{2}+2}$，
∴λ+μ=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}-2}$-$\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{2}+2}$=0，
綜上所述，λ+μ=0．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．