Question

14．已知函數(shù) f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{2}{3}$，x∈R，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，由f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$，即可求得f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求得$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，則f（x）+k=0在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一個實數(shù)解，由函數(shù)圖象即可求得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$，
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+2$，
=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）+2$…（3分）
∴$T=\frac{2π}{2}=π$…（4分）
又因為$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}（{k∈Z}）$，
∴$kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}（{k∈Z}）$．…（5分）
當(dāng)k=0時$x∈[{\frac{π}{3}}\right.，\left.{\frac{5π}{6}}]⊆[{-π，\left.π]}\right.$；  
  當(dāng)k=-1時$x∈[{-\frac{2π}{3}}\right.，\left.{-\frac{π}{6}}]⊆[{-π，\left.π]}\right.$，
∴函數(shù)f（x）在[-π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為$[{-\frac{2π}{3}}\right.，\left.{-\frac{π}{6}}]$和 $[{\frac{π}{3}}\right.，\left.{\frac{5π}{6}}]$…（7分）
（Ⅱ）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
所以$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}}\right.，\left.{\frac{5π}{6}}]$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，…（9分）
f（x）+k=0在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一個實數(shù)解，
即函數(shù)$y=sin（2x-\frac{π}{6}）$與y=-k-2在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一個交點，
由函數(shù)的圖象可知$-\frac{1}{2}≤-k-2＜\frac{1}{2}或$-k-2=1
∴$-\frac{5}{2}＜k≤-\frac{3}{2}或k=-3$…（13分）

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象交點問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．