Question

已知三棱錐S-ABC中，平面ASC⊥平面ABC，O、D分別為AC、AB的中點(diǎn)，AS=CS=CD=AD=

2

2

AC．
（I）求證：平面ASC⊥平面BCS；
（II）求二面角A-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征得到SO⊥AC，OD⊥AC，進(jìn)而利用垂直共線得到BC⊥AC與SO⊥BC，可證明線面垂直，又因?yàn)榇咕�在另一個(gè)平面內(nèi)所以可得面面垂直．
（II）建立坐標(biāo)系分別求出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而得到二面角的余弦值．

解答：解：（I）因?yàn)锳S=CS=CD=AD=

2

2

AC，O為AC的中點(diǎn)
所以SO⊥AC，OD⊥AC，
又D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥BC，所以BC⊥AC．
又因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面ABC，
所以SO⊥平面ABC，所以SO⊥BC．
故可得CB⊥平面SAC．
因?yàn)锽C?平面BSC，
所以平面ASC⊥平面BSC．
（II）由（I）得SO⊥AC，SO⊥OD，AC⊥OD，所以分別以O(shè)A，OD，OS為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．

設(shè)AS=CS=CD=AD=2，則A（

2

，0，0），D（0，

2

，0），C（-

2

，0，0），S（0，0，

2

）
則

CS

=(

2

，0，

2

)，

CD

=(

2

， 

2

，0)，

OD

=(0，

2

，0)．
設(shè)

a

=（x，y，z）是平面CDS的法向量，
則

a • CD =0 a • CS =0

即

x+y=0 x+z=0

，
令x=-1得

a

=(-1，1，1)．

OD

為平面ASC的法向量，設(shè)二面角A-SC-D為θ，
所以cosθ=

| OD • a |

| OD | • | a |

=

2

2 • 3

=

3

3

即所求角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，有利于確定線面垂直的條件，也便于建立坐標(biāo)系利用向量解決二面角的平面角問題．