Question

（本題滿分14分）如圖，中，是的中點，，．將沿折起，使點與圖中點重合．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當三棱錐的體積取最大時，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問在線段上是否存在一點，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結論．

 

Answer 1

（Ⅰ）點，

即，

又∵；

（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，且為線段的中點

證明如下:設，

又平面的法向量，依題意得

解得舍去）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證，需證明垂直平面內兩條直線，

在三角形ABC中，因為，是的中點，所以；

又因為在折疊的過程中，保持不變，即，，

所以結論成立；

（Ⅱ）在平面內，作于點，則由（1）及已知可得當與重合時，三棱錐的體積最大，并過點作于點，連，則為

在中，易得的值，即為所求；

（Ⅲ）根據(jù)圖形及已知條件分析可得，存在線段上中點，使與平面所成的角的正弦值為，求出平面的法向量，根據(jù)與平面所成的角的正弦值為建立等式關系，即可求得結論.

試題解析：（Ⅰ）點，

即，

又∵；

（Ⅱ）在平面內，作于點，則由（Ⅰ）可知

又，，即是三棱錐的高，

又，所以當與重合時，三棱錐的體積最大，

過點作于點，連，由（Ⅰ）知

，

為

，

（Ⅲ）存在，且為線段的中點

證明如下：設，

又平面的法向量，依題意得

解得舍去）.

考點：線面垂直；二面角的求法；空間向量在立體幾何中的應用.