【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE= ,在折疊后的線段AD上是否存在一點P,且 ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值,并求此時二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,
FD⊥EF,
∴FD⊥平面ABEF,又AF平面ABEF,
∴FD⊥AF,
在折起過程中,AF⊥EF,同時FD∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
以F為坐標原點,分別以FE,F(xiàn)D,F(xiàn)A所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
當BE= 時,F(xiàn)(0,0,0),A(0,0, ),D(0, ,0),C(1, ,0),
平面ABEF的法向量 =(0, ,0),
∵ = ,∴ = + = ,
∴P(0, , ),
∴ =(﹣1, , ),
∵CP∥平面ABEF,∴ = =0,
解得 ,
∴線段AD上點P(0, ),且 ,使得CP∥平面ABEF.
(Ⅱ)設BE=x,則AF=x(0<x≤2),F(xiàn)D=3﹣x,
∴VA﹣CDF= = =﹣ (x﹣ )2+ ,
∴當x= 時,VA﹣CDF有最大值,且最大值為 ,
∴A(0,0, ),C(1, ,0),D(0, ,0),E(1,0,0),
∴ =(1,0,﹣ ), =(1, ,﹣ ), =(0,0, ), =(1, ,0),
設平面AEC的一個法向量為 =(x,y,z),
則 ,取x=3,得 =(3,0,2),
設平面ACF的一個法向量 =(a,b,c),
則 ,取a=1,得 =(1,﹣2,0),
cos< , >= = = .
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)推導出FD⊥EF,F(xiàn)D⊥AF,以F為坐標原點,分別以FE,F(xiàn)D,F(xiàn)A所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出線段AD上存在點P(0, ), ,使得CP∥平面ABEF.(Ⅱ)設BE=x,則AF=x(0<x≤2),F(xiàn)D=3﹣x,推導出當x= 時,VA﹣CDF有最大值,且最大值為 ,求出此時平面AEC的一個法向量和平面ACF的一個法向量,利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx(ω>0),將y=f(x)的圖象向右平移 個單位長度后,若所得圖象與原圖象重合,則ω的最小值等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB=BC=CA=AP=2,G是△ABC重心,E是線段PC上一點,且CE=λCP.
(1)當EG∥平面PAB時,求λ的值;
(2)當直線CP與平面ABE所成角的正弦值為時,求λ的值.
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【題目】圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在區(qū)間 上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只要將y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點( )
A.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍,縱坐標不變
B.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變
C.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍,縱坐標不變
D.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變
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【題目】對于函數(shù)f(x)給出定義:
設f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0 , 則稱點(x0 , f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.
某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù) ,請你根據(jù)上面探究結果,計算
= .
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【題目】運行如圖所示的程序框圖,則輸出的結果是( )
A.e2016﹣e2015
B.e2017﹣e2016
C.e2015﹣1
D.e2016﹣1
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,點N在線段PB上,且PN=2.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段:,,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?
(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;
(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.
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