17．雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，過焦點且垂直于y軸的弦長為6，
（1）求雙曲線方程；
（2）過雙曲線的下焦點作傾角為45°的直線交曲線與MN，求MN的長．

分析 （1）利用雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，過焦點且垂直于y軸的弦長為6，建立方程，即可求雙曲線方程；
（2）過雙曲線的下焦點作傾角為45°的直線交曲線與MN，聯(lián)立方程，即可求MN的長．

解答 解：（1）由題意，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2^{2}}{a}$=6，
∴$a=1，b=\sqrt{3}$，
∴雙曲線方程為y2-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）過雙曲線的下焦點作傾角為45°的直線方程為y=x-2，
代入雙曲線方程可得2x2-12x+9=0
∴|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{36-4×\frac{9}{2}}$=6．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．在△ABC中，若角A、B、C依次成等差數(shù)列，且a=1，b=$\sqrt{3}$，則S△ABC=（　　）
A．$\frac{3}{4}$B．$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．點M（x，y）與定點F（1，0）的距離和它到直線l：x=2的距離的比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（Ⅰ）求點M的軌跡．
（Ⅱ）是否存在點M到直線$\frac{x}{{\sqrt{2}}}$+y=1的距離最大？最大距離是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．動圓M與圓O：x2+y2=1外切，與圓C：（x-3）2+y2=1內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是（　　）
A．雙曲線B．雙曲線的一支C．橢圓D．拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知集合A={x|-2≤x＜5}，B={x|3x-5≥x-1}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|-x+m＞0}，且A∪C=C，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．已知直線l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，那么l2與平面α的關(guān)系是（　　）
A．l1∥αB．l2⊥αC．l2∥α或l2?αD．l2與α相交

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過點A（1，2）和點B（0，3）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，且被圓C截得的弦長為$\sqrt{2}$，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為$\frac{1}{2}$，且該橢圓的短軸長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點F2的直線l與橢圓交于M、N兩點，求△F1MN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，當x=-1時，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0；
（1）求f（x）解析式；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

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