Question

已知方程x²+2

a

•x+b=0是關(guān)于x的一元二次方程．
（Ⅰ）若a是從集合{0，1，2，3}四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從集合{0，1，2}三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率；
（Ⅱ）若a∈[0，3]，b∈[0，2]，求上述方程有實數(shù)根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由一元二次方程的判別式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根的充要條件為a≥b，用列舉法求出a從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)的所有基本事件個數(shù)，查出滿足a≥b的事件數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解；
（2）由題意求出點（a，b）所構(gòu)成的矩形面積，再由線性規(guī)劃知識求出滿足a≥b的區(qū)域面積，由測度比是面積比求概率．

解答： 解：設(shè)事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根”．
當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根的充要條件為a≥b．
（1）基本事件共12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．
事件A中包含9個基本事件．
事件A發(fā)生的概率為；P（A）=

9

12

=

3

4

…．（6分）
（2）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
如圖，
∴所求的概率（Ⅱ）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．構(gòu)成事件A的區(qū)域為．
Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率P(A)=

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了幾何概型的概率，關(guān)鍵是理解（2）的測度比，是基礎(chǔ)題．