Question

函數的圖象為C₁，C₁關于點A（2，1）的對稱圖形為C₂，C₂對應的函數為g（x）：
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）若直線y=b與C₂只有一個公共點，求b的值及交點坐標．

Answer 1

解：（1）函數g（x）圖象任一點P（x，y），且P關于A（2，1）的對稱點P'（x'，y'），
則，解得，
∵點P'在函數的圖象上，∴2-y=，
即g（x）=+2．

（2）當x-4＞0時，即x＞4，≥2，當且僅當x=5時取到等號，
此時g（x）取到最小值4，
∵直線y=b與C₂只有一個公共點，∴b=4，且交點坐標是（5，4）；
當x-4＜0時，即x＜4，-[]≥2，即≤-2，
此時g（x）取到最大值0，當且僅當x=3時取到等號
∵直線y=b與C₂只有一個公共點，∴b=0，且交點坐標是（3，0）；
綜上，b的值及交點坐標分別為4，（5，4）或0，（3，0）．
分析：（1）先設g（x）圖象任一點P（x，y）以及P關于A（2，1）的對稱點P'（x'，y'），根據點關于點對稱的性質，用p的坐標表示P'的坐標，再把P'的坐標代入f（x）的解析式進行整理，求出g（x）解析式；
（2）需要對x進行分類后，利用基本不等式求出函數g（x）的最值，再由條件和等號取到的條件求出b的值和交點的坐標．
點評：本題是有關函數的綜合題，考查了用代入法求函數的解析式，利用點關于點對稱的性質，還利用基本不等式求出函數的最值，注意基本不等式的使用條件，考查了分類討論思想．