Question

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點與各楞的中點共20個，任取2點連成直線，在這些直線中任取一條，它與對角線BD₁垂直的概率為（　　）

• A． $\frac{21}{190}$
• B． $\frac{21}{166}$
• C． $\frac{27}{166}$
• D． $\frac{27}{154}$

Answer 1

分析 如圖，易證明BD₁⊥正六邊形EFGHIJ，此時在正六邊形上有C${C}_{6}^{2}$條直線與直線BD₁垂直．與直線BD₁垂直的平面還有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，共有直線4×${C}_{3}^{2}$條，而所有的直線共有${C}_{20}^{2}$條，從而求得任取一條，它與對角線BD₁垂直的概率．

解答 解：如圖，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分別為相應(yīng)棱上的中點，
容易證明BD₁⊥正六邊形EFGHIJ
此時在正六邊形上有${C}_{6}^{2}$條直線與直線BD₁垂直．
與直線BD₁垂直的平面還有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，
共有直線4×${C}_{3}^{2}$條．
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點與各棱的中點共20個點，
任取2點連成直線數(shù)為${C}_{20}^{2}$條直線
（每條棱上如直線AE，ED，AD其實為一條），
故對角線BD₁垂直的概率為$\frac{15+12}{166}$．
故答案為：$\frac{27}{166}$．

點評 本題考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題