Question

17．已知一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球（n≥1且n∈N）和2個(gè)白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出兩個(gè)球，若兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，設(shè)三次摸球中（每次摸球后放回）中獎(jiǎng)的次數(shù)為ξ，求的ξ分布列；
（2）記三次摸球中（每次摸球后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為P，當(dāng)n取多少時(shí)，P最大．

Answer 1

分析 1）當(dāng)n=3時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率p=$\frac{3×2}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．分別求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．
（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為P（ζ=2）=${C}_{3}^{2}$•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出n為1或2時(shí)，P有最大值．

解答 解（1）當(dāng)n=3時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率$p=\frac{3×2}{C_5^2}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$；    $P（ξ=1）=C_3^1（\frac{3}{5}）{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$；
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{5}）^2}{（\frac{2}{5}）^{\;}}=\frac{54}{125}$；$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$；
ξ分布列為：

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，
則三次摸球（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為：
$P（ξ=2）=C_3^2•{p^2}•（1-p）=-3{p^3}+6{p^2}$，0＜p＜1，
P'=-9p²+6p=-3p（3p-2），知在$（0，\frac{2}{3}）$上P為增函數(shù)，在$（\frac{2}{3}，1）$上P為減函數(shù)，
當(dāng)$p=\frac{2}{3}$時(shí)P取得最大值．
又$p=\frac{4n}{（n+1）（n+2）}=\frac{2}{3}$，
故n²-3n+2=0，解得：n=1或n=2，
故n為1或2時(shí)，P有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)斯望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．