Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x．
（I）若函數(shù)f（x）在x=0處取得極值，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值，求正數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+都成立．

Answer 1

解：（I）∵函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x，
∴，
f′（0）=0，
即，
∴a=1．
（Ⅱ）
=，
令f′（x）=0，即2x²+（2a+1）x+a-1=0，（*）
∵△=（2a+1）²-8（a-1）
=4a²-4a+9＞0，
設方程（*）兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由于a＞0，則，，
當a＞1時，x₁x₂＞0，x₁＜x₂＜0，
函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上遞減，此時f（x）的最小值為f（1），不滿足題意．
當0＜a＜1時，x₁x₂＜0，x₁＜0＜x₂，
設g（x）=2x²+（2a+1）x+a-1，
∵g（0）=a-1＜0，g（1）=3a+2＞0，
∴x₁＜0＜x₂＜1，
函數(shù)f（x）在x∈[0，x₂]遞增，在x∈[x₂，1]遞減．
∵f（x）在x=0處取得最小值，
∴f（0）≤f（1）．
即lna≤ln（a+1）-2，
∴．
綜上所述，正數(shù)a的取值范圍是．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當a=1時，，
f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，
此時，f（x）=ln（x+1）-x²-x≤f（0）=0，
即，
＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1），
∴2+．
分析：（I）由，f′（0）=0，知，由此能求出a．
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得2x²+（2a+1）x+a-1=0，所以4a²-4a+9＞0，設方程兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，由于a＞0，則，，由此入手能求出正數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=1時，，f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，此時，，由此能夠證明2+．
點評：本題考查求實數(shù)a的值，求正數(shù)a的取值范圍，證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+都成立．解題時要認真審題，注意導數(shù)的合理運用，恰當?shù)乩�用裂項求和法進行解題．