Question

過拋物線y²=4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P和Q，那么線段PQ中點的軌跡方程是（ ）
A．y²=2x-1
B．y²=2x-2
C．y²=-2x+1
D．y²=-2x+2

Answer 1

【答案】分析：設(shè)線段PQ所在的直線方程為 y-0=k（x-1），代入拋物線方程，利用一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系求出線段PQ中點坐標(biāo)
消去參數(shù) k，即得線段PQ中點的軌跡方程．
解答：解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），當(dāng)線段PQ的斜率存在時，設(shè)線段PQ所在的直線方程為 y-0=k（x-1），
代入拋物線y²=4x得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₁+x₂=．
設(shè)線段PQ中點H（ x，y ），則由中點公式得 x=，∴y=k（x-1）=，k=，
∴y²=2x-2．當(dāng)線段PQ的斜率存在時，線段PQ中點為焦點F（1，0），滿足此式，
故線段PQ中點的軌跡方程是 y²=2x-2，
故選B．
點評：本題考查求點的軌跡方程的方法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點公式的應(yīng)用，利用一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系，中點公式求出線段PQ中點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．