分析 (I)由DE⊥平面A1DC得出DE⊥A1F,再證出AF1⊥CD得出A1F⊥平面BCDE,從而得出A1F⊥BE;
(II)取A1B的中點Q,連接FG,F(xiàn)Q,GQ,通過中位線證明平面GFQ∥平面A1DE,從而可得FQ∥平面A1DE;
(III)以F為原點建立空間坐標(biāo)系,求出平面A1DE的法向量→n和→GQ的坐標(biāo),則|cos<→n,→GQ>|為所求角的正弦值.
解答 解:(Ⅰ)證明:
∵A1D=DC,
∠A1DC=60°,
∴△A1DC為等邊三角形,又F為線段CD的中點,
∴A1F⊥DC,
由圖1可知ED⊥A1D,ED⊥DC,
∴ED⊥平面A1DC,又A1F?平面A1DC,
∴ED⊥A1F,
又ED∩DC=D,DE?平面BCDE,CD?平面BCDE,
∴A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE,
所以A1F⊥BE.
(Ⅱ)取A1B的中點Q,連接FG,F(xiàn)Q,GQ,
∵G,F(xiàn),Q分別是BE,CD,A1B的中點,
∴FG∥DE,GQ∥A1E,
又FG?平面GFQ,GQ?平面GFQ,DE?平面A1DE,A1E?平面A1DE,
∴平面GFQ∥平面A1DE,又FQ?平面GFQ,
∴FQ∥平面A1DE.
∴當(dāng)Q為A1B的中點時,F(xiàn)Q∥平面A1DE.
連接BF,則BF=√BC2+CF2=√5,
由(I)知△A1DC是邊長為2的等邊三角形,A1F⊥平面BCDE,
∴A1F=√3,A1F⊥BF,
∴A1B=√BF2+A1F2=2√2,
∴A1Q=12A1B=√2.
(Ⅲ)以F為原點,以FC,F(xiàn)G,F(xiàn)A1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則D(-1,0,0),E(-1,1,0),A1(0,0,√3),B(1,2,0),G(0,32,0),
∴→A1B=(1,2,-√3),→DE=(0,1,0),→DA1=(1,0,√3),→GA1=(0,-32,√3),
∴→A1Q=34→A1B=(34,32,-3√34),∴→GQ=→GA1+→A1Q=(34,0,√34),
設(shè)平面A1DE的法向量為→n=(x,y,z),則{→n•→DE=0→n•→DA1=0,
∴{y=0x+√3z=0,令z=1得→n=(-√3,0,1),
∴cos<→n,→GQ>=→n•→GQ|→n||→GQ|=−√322×√32=-12,
設(shè)直線GQ與平面A1DE所成角為θ,則sinθ=|cos<→n,→GQ>|=12,
∴直線GQ與平面A1DE所成角為30°.
點評 本題考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì),空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 4 | D. | 8 |
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A. | [6,24) | B. | [24,120) | C. | (-∞,6) | D. | (5,24) |
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A. | 充要條件 | B. | 充分而不必要條件 | ||
C. | 必要而不充分條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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