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20.如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D,E分別為邊AC,AB的中點,點F,G分別為線段CD,BE的中點.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使∠A1DC=60°.點Q為線段A1B上的一點,如圖2.

(Ⅰ)求證:A1F⊥BE;
(Ⅱ)線段A1B上是否存在點Q£?使得FQ∥平面A1DE?若存在,求出A1Q的長,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)當(dāng)A1Q=34A1B時,求直線GQ與平面A1DE所成角的大�。�

分析 (I)由DE⊥平面A1DC得出DE⊥A1F,再證出AF1⊥CD得出A1F⊥平面BCDE,從而得出A1F⊥BE;
(II)取A1B的中點Q,連接FG,F(xiàn)Q,GQ,通過中位線證明平面GFQ∥平面A1DE,從而可得FQ∥平面A1DE;
(III)以F為原點建立空間坐標(biāo)系,求出平面A1DE的法向量nGQ的坐標(biāo),則|cos<nGQ>|為所求角的正弦值.

解答 解:(Ⅰ)證明:
∵A1D=DC,
∠A1DC=60°,
∴△A1DC為等邊三角形,又F為線段CD的中點,
∴A1F⊥DC,
由圖1可知ED⊥A1D,ED⊥DC,
∴ED⊥平面A1DC,又A1F?平面A1DC,
∴ED⊥A1F,
又ED∩DC=D,DE?平面BCDE,CD?平面BCDE,
∴A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE,
所以A1F⊥BE.     
(Ⅱ)取A1B的中點Q,連接FG,F(xiàn)Q,GQ,
∵G,F(xiàn),Q分別是BE,CD,A1B的中點,
∴FG∥DE,GQ∥A1E,
又FG?平面GFQ,GQ?平面GFQ,DE?平面A1DE,A1E?平面A1DE,
∴平面GFQ∥平面A1DE,又FQ?平面GFQ,
∴FQ∥平面A1DE.
∴當(dāng)Q為A1B的中點時,F(xiàn)Q∥平面A1DE.
連接BF,則BF=BC2+CF2=5
由(I)知△A1DC是邊長為2的等邊三角形,A1F⊥平面BCDE,
∴A1F=3,A1F⊥BF,
∴A1B=BF2+A1F2=22,
∴A1Q=12A1B=2
(Ⅲ)以F為原點,以FC,F(xiàn)G,F(xiàn)A1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則D(-1,0,0),E(-1,1,0),A1(0,0,3),B(1,2,0),G(0,32,0),
A1B=(1,2,-3),DE=(0,1,0),DA1=(1,0,3),GA1=(0,-323),
A1Q=34A1B=(34,32,-334),∴GQ=GA1+A1Q=(34,0,34),
設(shè)平面A1DE的法向量為n=(x,y,z),則{nDE=0nDA1=0,
{y=0x+3z=0,令z=1得n=(-3,0,1),
∴cos<nGQ>=nGQ|n||GQ|=322×32=-12,
設(shè)直線GQ與平面A1DE所成角為θ,則sinθ=|cos<nGQ>|=12,
∴直線GQ與平面A1DE所成角為30°.

點評 本題考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì),空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.

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