Question

1．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)$f（x）=1-\frac{a}{{{2^x}+1}}$．
（1）若f（-1）=-1，求a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）為奇函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在其定義域上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的解析式，直接求解即可．
（2）利用奇函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化求解即可．
（3）利用函數(shù)的值域，求解函數(shù)的零點(diǎn)，然后推出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵f（-1）=-1，∴$1-\frac{a}{{{2^{-1}}+1}}=-1$，解得：a=3；     …（3分）
（2）令f（-x）=-f（x），則$1-\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}=-1+\frac{a}{{{2^x}+1}}$$⇒2=\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$$⇒2=\frac{{a•{2^x}}}{{{2^x}+1}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}⇒a=2$．即存在a=2使得f（x）為奇函數(shù)；     …（8分）
（3）令f（x）=0得a=2^x+1，
函數(shù)f（x）在其定義域上存在零點(diǎn)，即方程a=2^x+1在R上有解，
所以a∈（1，+∞）． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理以及函數(shù)的解析式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．