Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若，正實(shí)數(shù)， 滿足，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）由求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分離出變量，令，只要，利用導(dǎo)數(shù)求出令的最大值即可；（3）由，即，令，則由，利用導(dǎo)數(shù)法求得，從而可得所以，解得即可．

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，所以，

此時(shí)， ，

，

由，得，又，所以，

所以的單調(diào)減區(qū)間為．

（2）由恒成立，得在上恒成立，

問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立，

令，只要，

因?yàn)?/span>，令，得．

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)的根為，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以 ，

因?yàn)?/span>， ，

所以，此時(shí)，即，

所以，即整數(shù)的最小值為2．

（3）當(dāng)時(shí)， ，

由，即，

從而，

令，則由，得，

可知， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，

所以，因此成立．