Question

（2004•寧波模擬）（文） {a_n}是等差數(shù)列，公差d＞0，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和．已知a₁a₄=22．S₄=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式得到兩個(gè)關(guān)于a₁，a₄，的方程，求出a₁，a₄，同乘公差，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）通過(guò)bn=

1

anan+1

，求出

1

anan+1

= (

1

an

-

1

an+1

)•

1

3

，利用求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n展開(kāi)裂項(xiàng)，求出前n項(xiàng)和即可．

解答：解：（1）因?yàn)镾₄=

4(a1+a2)

2

=2（a₁+a₄）=26，得a₁+a₄=13  ①
又a₁•a₄=22  ②
由①得a₄=13-a₁ 代入②得a₁（13-a₁）=22
解得a₁=11或a₁=2
a₁=11時(shí)，a₄=2，d＜0不合題意，舍去
所以a₁=2，a₄=2+3d=11
d=3
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1
（2）bn=

1

anan+1

T_n=

1

a1a2

+ 

1

a2a3

 +

1

a3a4

+…+ 

1

anan+1

因?yàn)?span id="2f84ys8" class="MathJye">

1

anan+1

= (

1

an

- 

1

an+1

)(

1

an+1-an

)
因?yàn)閍_n+1-a_n=d
所以

1

anan+1

= (

1

an

-

1

an+1

)•

1

3

T_n=

1

3

[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+ …+

1

an

-

1

an+1

]
=

1

3

×[

1

a1

-

1

an+1

]
=

1

3

×[

1

2

-

1

3n+2

]
=

n

6n+4

所以T_n=

n

6n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，第二小題主要的方法是裂項(xiàng)求和以及前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力．