(07年重慶卷理)(13分)
如圖,在直三棱柱ABC―中,
AB = 1,
;點D、E分別在
上,且
,四棱錐
與直三棱柱的體積之比為3:5。
(1)求異面直線DE與的距離;(8分)
(2)若BC =,求二面角
的平面角的正切值。(5分)
解析:解法一:(Ⅰ)因,且
,故
面
,
從而,又
,故
是異面直線
與
的公垂線.
設的長度為
,則四棱椎
的體積
為
.
而直三棱柱的體積
為
.
由已知條件,故
,解之得
.
從而.
在直角三角形中,
,
又因,
故.
(Ⅱ)如答(19)圖1,過作
,垂足為
,連接
,因
,
,故
面
.
由三垂線定理知,故
為所求二面角的平面角.
在直角中,
,
又因,
故,所以
.
解法二:
(Ⅰ)如答(19)圖2,以點為坐標原點
建立空間直角坐標系
,
則,
,
,
,則
,
.
設,則
,
又設,則
,
從而,即
.
又,所以
是異面直線
與
的公垂線.
下面求點的坐標.
設,則
.
因四棱錐的體積
為
.
而直三棱柱的體積
為
.
由已知條件,故
,解得
,即
.
從而,
,
.
接下來再求點的坐標.
由,有
,即
(1)
又由得
. (2)
聯(lián)立(1),(2),解得,
,即
,得
.
故.
(Ⅱ)由已知,則
,從而
,過
作
,
垂足為,連接
,
設,則
,因為
,故
……………………………………①
因且
得
,即
……………………………………②
聯(lián)立①②解得,
,即
.
則,
.
.
又,故
,
因此為所求二面角的平面角.又
,從而
,
故,
為直角三角形,所以
.
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