Question

已知函數(shù)，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的導函數(shù)，并分析導函數(shù)的符號，進而判斷出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分a≥1，0＜a＜，＜a＜1三種情況，分別討論f′（x）的符號，分析出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進而可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．
解答：解：∵函數(shù)，
∴f′（x）=（x＞0）…（2分）
（1）當a=1時，f′（x）=，
當x＞1時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0； …（4分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）． …（6分）
（2）當a≥1時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0． …（8分）
當0＜a＜時，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-．  …（10分）
當＜a＜1時，由f′（x）＞0得＜x≤2，由f′（x）＜0得1≤x＜．
∴f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（）=ln+1-．                                             …（14分）
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)的最值，熟練掌握導數(shù)法在確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值時的方法和步驟是解答的關鍵．